模型选择和交叉验证集
假设我们要在10个不同次数的二项式模型之间进行选择，显然越高次数的多项式模型越能够适应我们的训练数据集，但是适应训练数据集并不代表着能推广至一般情况，我们应该选择一个更能适应一般情况的模型。我们需要使用交叉验证集来帮助选择模型。 即：使用60%的数据作为训练集，使用 20%的数据作为交叉验证集，使用20%的数据作为测试集。
模型选择的方法为：
- 使用训练集训练出10个模型
- 用10个模型分别对交叉验证集计算得出交叉验证误差(Cross Validation error)（代价函数的值）
- 选取代价函数值最小的模型
- 用步骤3中选出的模型对测试集计算得出推广误差(Test error)（代价函数的值）
- Training error: $J_{train}(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_\limits{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$
- Cross Validation error: $J_{cv}(\theta) = \frac{1}{2m_{cv}}\sum_\limits{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)}{cv})-y^{(i)}{cv})^2$
- Test error: $J_{test}(\theta)=\frac{1}{2m_{test}}\sum_\limits{i=1}^{m_{test}}(h_{\theta}(x^{(i)}{cv})-y^{(i)}{cv})^2$
诊断偏差和方差
当你运行一个学习算法时，如果这个算法的表现不理想，那么多半是出现两种情况：要么是偏差比较大，要么是方差比较大。换句话说，出现的情况要么是欠拟合，要么是过拟合问题。那么这两种情况，哪个和偏差有关，哪个和方差有关，或者是不是和两个都有关？搞清楚这一点非常重要，因为能判断出现的情况是这两种情况中的哪一种，其实是一个很有效的指示器，指引着可以改进算法的最有效的方法和途径。
我们通常会通过将训练集和交叉验证集的代价函数误差与多项式的次数绘制在同一张图表上来帮助分析：
- 对于训练集，当 $d$ 较小时，模型拟合程度更低，误差较大；随着 $d$ 的增长，拟合程度提高，误差减小。
- 对于交叉验证集，当 $d$ 较小时，模型拟合程度低，误差较大；但是随着 $d$ 的增长，误差呈现先减小后增大的趋势，转折点是我们的模型开始过拟合训练数据集的时候。
如果我们的交叉验证集误差较大，我们如何判断是方差还是偏差呢？根据上面的图表，我们知道:
- 训练集误差和交叉验证集误差近似时：偏差/欠拟合
- 交叉验证集误差远大于训练集误差时：方差/过拟合
神经网络的方差和偏差：使用较小的神经网络，类似于参数较少的情况，容易导致高偏差和欠拟合，但计算代价较小。使用较大的神经网络，类似于参数较多的情况，容易导致高方差和过拟合，虽然计算代价比较大，但是可以通过正则化手段来调整而更加适应数据。通常选择较大的神经网络并采用正则化处理会比采用较小的神经网络效果要好。对于神经网络中的隐藏层的层数的选择，通常从一层开始逐渐增加层数，为了更好地作选择，可以把数据分为训练集、交叉验证集和测试集，针对不同隐藏层层数的神经网络训练神经网络， 然后选择交叉验证集代价最小的神经网络。
正则化和偏差/方差
在我们在训练模型的过程中，一般会使用一些正则化方法来防止过拟合。但是我们可能会正则化的程度太高或太小了，即我们在选择λ的值时也需要思考与刚才选择多项式模型次数类似的问题。我们选择一系列的想要测试的 $\lambda$ 值，通常是 0-10之间的呈现2倍关系的值（如：$0,0.01,0.02,0.04,0.08,0.15,0.32,0.64,1.28,2.56,5.12,10$共12个）。 我们同样把数据分为训练集、交叉验证集和测试集。
选择$\lambda$的方法为：
- 使用训练集训练出12个不同程度正则化的模型
- 用12个模型分别对交叉验证集计算的出交叉验证误差
- 选择得出交叉验证误差最小的模型
- 运用步骤3中选出模型对测试集计算得出推广误差
我们也可以同时将训练集和交叉验证集模型的代价函数误差与λ的值绘制在一张图表上：
- 当 $\lambda$ 较小时，训练集误差较小（过拟合）而交叉验证集误差较大
- 随着 $\lambda$ 的增加，训练集误差不断增加（欠拟合），而交叉验证集误差则是先减小后增加
学习曲线
学习曲线就是一种很好的工具，我经常使用学习曲线来判断某一个学习算法是否处于偏差、方差问题。学习曲线是学习算法的一个很好的合理检验（sanity check）。学习曲线是将训练集误差和交叉验证集误差作为训练集样本数量（$m$）的函数绘制的图表。即，如果我们有100行数据，我们从1行数据开始，逐渐学习更多行的数据。思想是：当训练较少行数据的时候，训练的模型将能够非常完美地适应较少的训练数据，但是训练出来的模型却不能很好地适应交叉验证集数据或测试集数据。
如何利用学习曲线识别高偏差/欠拟合：作为例子，我们尝试用一条直线来适应下面的数据，可以看出，无论训练集有多么大误差都不会有太大改观：
也就是说在高偏差/欠拟合的情况下，增加数据到训练集不一定能有帮助
如何利用学习曲线识别高方差/过拟合：假设我们使用一个非常高次的多项式模型，并且正则化非常小，可以看出，当交叉验证集误差远大于训练集误差时，往训练集增加更多数据可以提高模型的效果:
也就是说在高方差/过拟合的情况下，增加更多数据到训练集可能可以提高算法效果。
总结
- 获得更多的训练样本——解决高方差
- 尝试减少特征的数量——解决高方差
- 尝试获得更多的特征——解决高偏差
- 尝试增加多项式特征——解决高偏差
- 尝试减少正则化程度λ——解决高偏差
- 尝试增加正则化程度λ——解决高方差
误差分析/Error Analysis
构建一个学习算法的推荐方法为：
- 从一个简单的能快速实现的算法开始，实现该算法并用交叉验证集数据测试这个算法
- 绘制学习曲线，决定是增加更多数据，或者添加更多特征，还是其他选择
- 进行误差分析：人工检查交叉验证集中我们算法中产生预测误差的样本，看看这些样本是否有某种系统化的趋势
偏斜类误差度量 / skewed classes
偏斜类问题: 类偏斜情况表现为我们的训练集中有非常多的同一种类的样本，只有很少或没有其他类的样本。 例如我们希望用算法来预测癌症是否是恶性的，在我们的训练集中，只有0.5%的实例是恶性肿瘤。假设我们编写一个非学习而来的算法，在所有情况下都预测肿瘤是良性的，那么误差只有0.5%。然而我们通过训练而得到的神经网络算法却有1%的误差。这时，误差的大小是不能视为评判算法效果的依据的。
为了解决偏斜类误差度量，我们引入查准率和查全率，将算法预测的结果分成四种情况：
- 正确肯定（True Positive,TP）：预测为真，实际为真
- 正确否定（True Negative,TN）：预测为假，实际为假
- 错误肯定（False Positive,FP）：预测为真，实际为假
- 错误否定（False Negative,FN）：预测为假，实际为真
| - | 预测值Positive | 预测值Negtive |
|---|---|---|
| 实际值Positive | TP | FN |
| 实际值Negtive | FP | TN |
查准率（Precision）: 查准率=TP/(TP+FP)。例，在所有我们预测有恶性肿瘤的病人中，实际上有恶性肿瘤的病人的百分比，越高越好。
查全率（Recall） : 查全率=TP/(TP+FN)。例，在所有实际上有恶性肿瘤的病人中，成功预测有恶性肿瘤的病人的百分比，越高越好。 这样，对于我们刚才那个总是预测病人肿瘤为良性的算法，其查全率是0。
查准率和查全率之间的权衡: 查准率和查全率都是越高越好。继续沿用刚才预测肿瘤性质的例子，假使我们的算法输出的结果在0-1 之间，我们使用阀值0.5 来预测真和假。 如果我们希望只在非常确信的情况下预测为真（肿瘤为恶性），即我们希望更高的查准率，我们可以使用比0.5更大的阀值，如0.7，0.9。这样做我们会减少错误预测病人为恶性肿瘤的情况，同时却会增加未能成功预测肿瘤为恶性的情况。 如果我们希望提高查全率，尽可能地让所有有可能是恶性肿瘤的病人都得到进一步地检查、诊断，我们可以使用比0.5更小的阀值，如0.3。 我们可以将不同阀值情况下，查全率与查准率的关系绘制成图表，曲线的形状根据数据的不同而不同：
我们希望有一个帮助我们选择这个阀值的方法。一种方法是计算F1 值（F1 Score），其计算公式为：
$F_1Score:2\frac{PR}{P+R}$
我们选择使得F1值最高的阀值。